Karaka köklü ifadeler ile ilgili sorular bu konuda

KAREKÖKLÜ İFADELER

n  Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.

Örnekler:

• n = 2 için a : Karekök a,

• n = 3 için a : Küpkök a,

• n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur

Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.

N  Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır.

Örnekler

• x4 = -16 ise x  R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.

-16  R, -7  R fakat

x3 = -8 ise x = -8  R dir.

Soru-1

A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?

Çözüm

x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,

x-3  0 ve 5-x  0

 x3 ve 5x

 3  x  5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.

Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

a = am/n dir.

Örnek:

• 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür.

Soru-2

2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır?

Çözüm

2x = (0,5)2x-1  2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)

 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)

 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)

 x/3 = (1 – 2x)/(2)

 x = 8/3 dir.

Köklü İfadenin Üssünün Alınması

Tanımlı olduğu durumlarda,

(a )m = am

Örnekler:

• (-2 )4 = (-2)4 = 16

• (2 )3 = 23 = 8 dir

Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması

Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.

n  Z+ olmak üzere,

a , n tek sayı

an =

a , n çift sayı

Örnekler:

• 125 = 53 = 5,

• -8 = (-2)3 = -2

• 1/32 = (1/2)5 = ½

• 16 = 24 = 2 = 2

• (3 – 2)2 = 3 - 2 olur.

Burada 3 - 2  0 olduğundan,

3 - 2 = -(3 – 2) = 2 - 3

•26 = (22)3 = 4

•27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2

Soru-3

243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4

= 3.3 / 2.10-1.3

= 3.10 / 2 = 15 tir.

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.

a/c . b = (an.b)/(cn)

Not: n çift sayı ise a/c  0 olmalıdır.

Örnekler:

• 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6

• x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy

• -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür.

Soru-4

A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır?

Çözüm

5-3  0 olduğundan,

A = (5 – 3)7+35

= -(3-5)7+35

= -(3-5)2 .(7+35)

= -(14-65)(7+35)

= -2(7-35).(7+35)

= -2[72 – (35)2]

= -2.4 = -22 dir.

Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme

Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

k  Z+ olmak üzere

an = an.k = an/k

Örnekler:

• 32 = 25 = 2

• 3 = 32 = 9

• -2 = -2 = -24 = -16

• (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir.

Soru-5

x = 2 , y = 3 , ve z = 5

sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?

Çözüm

X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:

x = 2 = 26 = 264

y = 3 = 34 = 81

z = 5 = 53 = 125 ve

1258164 olduğundan zyx tir.

Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma

Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.

xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi.

Örnekler:

• 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı)

• 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı)

• 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir.

Soru-6

48 + 12 - 27/4 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

48 + 12 - 27/4 = 3.42 + 3.22 - (3.32)/(22)

= 43 + 23 – 3/23

= (4+2-3/2)3 = 9/23 tür.

Soru-7

8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24

= 2 - 42 + 2

= (1-4+1)2

= -22

Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.

Tanımlı olduğu durumlarda:

a . b = a.b

a / b = a/b

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.

a . b = am . bn = am.bn

a / b = am / bn = am/bn (b0) dir.

Örnek:

• (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir.

Soru-7

2 . 16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,

2 . 16 = 2 . 24

= 25 . 24.3

= 25 . 212 = 217

= 215 . 22 = 24 tür.

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)

1-) n  m, b  0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.

a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir.

Örnekler

• a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b)

• 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2

• 1 / (2.3) = [1/(2.3)].[(22.3)/(22.3)] = (4.3)/(2.3) = (4.3)/(6)

2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile,

a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır.

(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan

(b - c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir.

Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.

a/(b-c) = [a/(b-c)].[(b+c)/(b+c)] = [a(b+c)] / [b-c]

a/(b+c) = [a/(b+c)].[(b-c)/(b-c)] = [a(b-c)] / [b-c] dir.

Örnek:

• 1/(5 – 2) = [1/(5-2)].[(5+2)/(5+2)] = [5 + 2] / [(5)2 – 22] = 5 + 2

• 2/(5 + 3) = [2/(5+3)].[(5-3)/(5-3)] = [2(5-3)] / [(5)2-(3)2] = 5-3

Soru-8

3/4-7 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7)

= (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9

= 4+7 dir.

Not: n  Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır.

Soru-8

1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

1/(2-1) = [1/(2-1)].[(2+1)/(2+1)]

= [2+1]/[(2)2-11] = (2 + 1) / (2 – 1)

= [(2+1)/(2-1)].[(2-1)/(2-1)]

= (2+1)(2+1) dir.

3-) a/b - c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır.

(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,

(b - c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir.

Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.

a / (b - c ) = [a / (b - c )].[(b2 + bc + c2 ) / (b2 + bc + c2 )]

= [a(b2 + bc + c2 )] / [b - c]

a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 - bc + c2 ile çarpılır.

(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,

(b + c )(b2 - bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir.

Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.

a / (b + c ) = [a / (b + c )].[(b2 - bc + c2 ) / (b2 - bc + c2 )]

= [a(b2 - bc + c2)] / [b + c]

Örnek:

• 1 / (5 - 3 ) = [1 / (5 - 3 )].[(52 + 5.3 + 32 ) / (52 + 5.3 + 32 )]

= [25 + 15 + 9 ] / [(5 )3 – (3 )3]

= (25 + 15 + 9 ) / 2

Soru-10

1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

1/(9+6+4) = [1 / (32 + 3.2 + 22 )].[(3 - 2 )/(3 - 2 )]

= [3 - 2]/[(3)3 – (2)3

= 3 - 2 dir.

İç İçe Kökler

1-) x + 2y veya x - 2y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,

x = a + b

olmak üzere

y = a . b

• x + 2y = (a + b )2 = a + b

a+b a.b

• x - 2y = (a - b )2 = a - b

a+b a.b

Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.

Örnekler:

• 4 + 23 = 3 + 1 = 3 + 1

• 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3 tür.

Soru-11

3 + 5 - 3 - 5 işleminin sonucu nedir?

Çözüm 1

3 + 5 - 3 - 5 = [2(3 + 5)] / 2 - [2(3 - 5)] / 2

= [(6 + 25) / 2] – [(6 - 25) / 2]

= [(5 + 1) / 2] – [(5 – 1) / 2]

= (5 + 1 - 5 + 1) / 2

= 2

Çözüm 2

Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım

x = 3+5 - 3-5

x2 = (3+5 - 3-5 )2

x2 = (3+5 )2 +(3-5 )2-2(3+5)(3-5)

x2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 232-(5)2

x2 = 6 - 24  x2 = 2 olur.

x = 3+5 -3-5  0 olduğundan

x = 2 dir.

Not:

a0 , b0 ve a2b olmak üzere,

a+b = [(a+a2-b )/(2)] + [(a+a2-b)/(2)

a+b = [(a+a2-b )/(2)] - [(a+a2-b)/(2)

1-) a = a dır. (m.n.t çift sayı ise a0 olmalıdır.)

Örnek:

• 2 = 2 = 2

Soru-12

222 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.

222 = 23.22 = 220.2

= 221 = 27 = 128 dir.

3-) İç İçe Sonsuz Kökler

a)

aaa... = a

aaa... = x  a.x = x

x

 x = a

Örnekler:

• 888... = 8 =2

• 777... = 7 = 7 dir.

b)

a:a:a: ... = a

a:a:a: ... = x  a:x = x

x  x = a

şeklinde doğruluğu gösterilebilir.

Örnek:

• 8:8:8: ... = 8 = 2 dir.

c)

a+a+a+ ... = (1+1+4a) / (2) (a0)

a-a-a- ... = (-1+1+4a) / (2) (a0)

aaa ... = x  ax =x

x  ax = x2

 (1+1+4a) / 2

şeklinde doğruluğu gösterilebilir.

Örnek:

5+5+5+ ... = x  5+x = x  5+x = x2

x  x2 – x – 5 = 0

 x = (1+1+4.5)/(2)

 x = (1+21)/(2) dir.

Not:

a  0 olmak üzere,

a(a+1)+a(a+1)+a(a+1)+ ... = a+1

a(a+1)-a(a+1)-a(a+1)- ... = a

Örnek:

• 12+12+12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)

3.4

• 30-30-30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)

6.5

ÖSS SORULARI (1988-1997)

1997/SAYISAL

Soru No: 2

(40 . 18) / 80

İşleminin sonucu kaçtır?

A)3 B)2 C)1 D)45 E)25

Çözüm

(40.18) / 80 = 9 = 3 CEVAP A

Soru No: 4

0,00256 . (0,081)-1

İşleminin sonucu kaçtır?

A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4

Çözüm

(0,4)4 . [(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1

= 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B

Soru No: 25

25/64 + (1/9) – (5/12)

İşleminin sonucu kaçtır?

A)5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24

Çözüm

(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = [(5/8)–(1/3)]2

= (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E

1996/SAYISAL

Soru No: 10

0,09’un karekökü kaçtır?

A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03

Çözüm

0,09 = (0,3)2 = 0,3 CEVAP D

Soru No: 11

(0,48 - 0,27)/1,47

İşleminin sonucu kaçtır?

A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03

Çözüm

(3.0,16 - 3.0,9) = (0,43 – 0,33)/0,73

=(0,13)/(0,73) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A

Soru No: 12

[3 / ((3 + 22)]+[3 / (3 - 22)]

İşleminin sonucu kaçtır?

A)6 B)9 C)12 D)16 E)18

Çözüm

{[3.(3-22)]/[9-8]}+{[3.(3+22)]/[9-8]}

= [9-62]+[9+62] = 18 CEVAP E

1995/SAYISAL

Soru No: 12

9+(-4)2-(-5)2

İşleminin sonucu kaçtır?

A)0 B)1 C)2 D)10 E)11

Çözüm

3 + -4 - -5 = 3 – (-4) – [-(-5)]

= 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C

1994/SAYISAL

Soru No: 11

a = 6+1 ve b = 6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?

A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7

Çözüm

A+b = 26 ve a.b = 5

(a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)

= [(a+b)-2ab]/(ab) = [(26)2 – 2.5]/5

= (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D

1992/SAYISAL

Soru No: 8

a2 = a şeklinde tanımlandığına göre,

[(-3)2 + 9 - (-9)2]/[(-3)2]

İşleminin sonucu kaçtır?

A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9

Çözüm

(--3 + 3 - -9) / (-3) = (-3+3-9)/3

=-9/3 = -3 CEVAP B

1991/SAYISAL

Soru No: 13

(3.12)/(0,16 + 0,36)

İşleminin sonucu kaçtır?

A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)23

Çözüm

[3.12]/[(0,4)2+(0,6)2] = (36)/(0,4+0,6)

= 6/1 = 6 CEVAP C

1990/SAYISAL

Soru No: 11

[1/(3-2)] + [1/(3+2)]

İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A)6 B)3 C)2 D)3+2 E)3-2

Çözüm

[(3+2)/(9-8)]+[(3-2)/(9-8)]

= (3 + 22 + 3 - 22) = 6 CEVAP A

Soru No: 22

(-4)2 - 42 – (-2)2

İşleminin sonucu kaçtır?

A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8

Çözüm

-4-4-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP